خیام پاسکال چیست؟

. مثلث خیام یا مثلث پاسکال؟

شاید کلماتی مثل جبر، چندجمله‌ای، بسط نیوتون، محاسبه ضرایب، الگوریتم ها و... به گوش برخی آشنا باشد. جالب است بدانید که اکثر این موارد را در یک پکیج حاضر و آماده به نام مثلث خیام پاسکال ارائه دادند.

بسیاری عقیده دارند باید مثلث خیام پاسکال را مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید! همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"فرمول نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند.

مثلث خیام پاسکال ضرایبی را که در بسط های دوجمله ای به وجود می آیند را تعیین می کند. به عنوان مثال، بسط زیر را در نظر بگیرید:

ضرایب اعداد در ردیف دوم مثلث پاسکال، ۱ – ۲ - ۱ هستند به طور کلی، ضرایب بسط توان nام دو جمله‌ای در سطر 1n+ قرار دارد.

اما این همه ی ماجرا نیست. در ادامه این مطلب به انواع خاصیت های این مثلث (لینک به هدر ویژگی ها الگوها و خاصیت های مثلث) جالب و اسرارآمیز اشاره می کنیم.

به راستی مثلث خیام پاسکال را چه کسی ابداع کرد؟

بنا به مقاله های موجود این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده‌است. در قرن پنجم قمری حکیم عمر خیام روشی برای محاسبه ضرایب حسابی بسط دوجمله‌ای یافت که منجر به نام گذاری مثلث این ضرایب به نام مثلث خیام شد. پس از قرن ها پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد طبق تاریخ این مثلث متعلق به خیام است ولی بلز پاسکال بررسی های بیشتری روی این مثلث و روابطش انجام داده است؛ لذا این مثلث به خیام-پاسکال معروف می‌باشد. .

چرا مثلث خیام پاسکال از شهرت و اهمیت بسیاری برخوردار شده است؟

شاید به نظر برسد که این مثلث خیلی کاربردهای عینی در زندگی واقعی نداشته باشد اما برعکس، کلی استفاده های خلاقانه در زندگی واقعی و روزمره خود می توانیم از این مثلث داشته باشیم. توضیح: یکی از کاربردهای مثلث پاسکال در سؤالات ترکیبات است. به عنوان مثال، وقتی یک مجموعه با اندازه معین داریم، فرض کنید 10، و به دنبال انتخاب تعدادی از اعضای آن مجموعه، مثلا 4تا هستیم، می‌توانیم از مثلث پاسکال برای یافتن تعداد زیرمجموعه های متمایز 4 عضوی، استفاده کنیم. که در این مورد 210 است).

برای آوردن مثالی از زندگی واقعی - فرض کنید پیتزافروشی مورد علاقه ما 10 چاشنی و سس در منو دارد و با یک قیمت ثابت ما می توانیم 4 سس دلخواه را سفارش دهیم. چند پیتزا با ترکیب های مختلف و منحصر به فرد می توانیم بسازیم؟ 210 پیتزا!!!! خب همانطور که دیدیم در ترکیبیات بسیار ابزار کاربردی و سریعی داریم! از آنجا که برنامه نویسی و الگوریتم هایش ارتباط تنگاتنگ و صمیمانه ای با شاخه ترکیبیات دارند. فکر کنم پاسخ سوالتان را گرفته باشید، این مثلث در علم الگوریتم و برنامه نویسی شدیدا سلطان قلب ها شده است.

ویژگی ها ، الگوها و روابط مثلث خیام پاسکال

این ویژگی ها و الگوها شاید برای افرادی که بصورت تخصصی علوم ریاضی یا علوم کامپیوتر مطالعه نمی‌کنند هیجان انگیز نباشد؛ پس سعی کردیم برای شما به صورت گرافیکی و انیمیشنی یکسری روابط جالب را به نمایش بگذاریم.

خیام و پاسکال چه کسانی بودند؟

حکیم عمر خیام که معرف حضور همه هستند. کیست که نداند ایشان جزو معدود چهره های علمی-تاریخی ای می باشند که هم در اروپا و آمریکا و هم در ایران و آسیا مورد پذیرش و تایید جوامع علمی هستند. غیاث‌الدین ابوالفتح عُمَر بن ابراهیم خَیّام نیشابوری ، ریاضیدان، منجم، شاعر، فیلسوف، حکیم، مخترع و تنظیم کننده تقویم جلالی، مطالعه جامع فقه – حدیث و تفسیر، گاه شمار، موسیقی دان، همه چیزدان، همه چیز تمام و به قول اهالی دوران خودش حجة الحق بوده است.

بلِز پاسکال (فرانسوی: Blaise Pascal‎) ریاضی‌دان، فیزیک‌دان و فیلسوف فرانسوی بود وی یکی از تأثیر گذارترین دانشمندان ادوار است. مطالعات پاسکال در مورد سیالات (هیدرودینامیک و هیدروستاتیک) بر اساس اصول سیالات هیدرولیک بود. دستاورد مهم پاسکال در ارتباط با فلسفهِ ریاضی مربوط به اثر وی بنام De l'Esprit géométrique (در باب مفهوم هندسه) بود که در ابتدا به عنوان مقدمه‌ای برای کتاب هندسهِ برای یکی از مدارس معروف «مدارس کوچک پورت‌رویال Les Petites-Ecoles de Port-Royal) ) نوشته شده بود.

پاسکال پیش از آنکه فیلسوف باشد، در درجه اول مدافع مذهب کاتولیک بود. اهتمام او بیشتر بر این بوده که مسائل را به وسیله وحی و حیات مسیحی حل کند. اگرچه برخی او را در شمار فیلسوفان بزرگ فرانسوی نام برده‌اند، اما دیگران از اطلاق نام فیلسوف بر او امتناع کرده‌اند.



خب دیگه! بیشتر از این مطلب تاریخی، هم از حوصله ادمین خارجه هم شما!

ایا مثلث خیام پاسکال در برنامه نویسی کاربرد دارد؟

نمی شود به سادگی گفت که این مثلث مستقیما در برنامه نویسی تاثیر دارد، اما در علوم و حوزه هایی که تاثیر بسیار زیادی در برنامه نویسی دارند، موثر است. مثلث پاسکال را می توان در علم احتمال برای ساده کردن شمارش احتمالات یک رویداد استفاده کرد. به عنوان مثال، مثلث پاسکال می تواند به ما نشان دهد که چگونه می توانیم شیر و خط بودن را در یک پرتاب سکه بررسی کنیم. در مثال زیر، T نشان دهنده شیر ها و H نشان دهنده خط ها هستند.

فرض کنید یک سکه 4 بار پرتاب شده باشد، حالت های مختلف عبارتند از:

بنابراین، الگوی مشاهده شده 1، 4، 6، 4، 1 است. اگر به دنبال تعداد کل حالت ها هستیم، فقط باید اعداد را جمع کنیم 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. اعداد حاضر در سطر ۴ مثلث خیام پاسکال نیز همین اعداد با همین ترتیب هستند!
مثلث خیام پاسکال در علم ترکیبیات بسیار جالب تر عمل می‌کند. سطرهای مثلث خیام پاسکال را از بالا و اعداد هر سطر از سمت چپ را به ترتیب از صفر شماره گذاری میکنیم. مثلا فرض کنید می خواهیم حساب کنیم به چند طریق می توانیم ۴ شئی از ۶ شئی را بدون تکرار انتخاب کنیم:

پس ۱- در حوزه های ترکیبیاتی و احتمالاتی این مثلث بسیار موثر عمل می کند، و ۲- این حوزه ها در برنامه نویسی بسیار کاربردی هستند. از موارد ۱ و ۲ به سادگی نقش این مثلث معلوم می شود.

مثلث خیام پاسکال در کد نویسی

محاسبه مثلث خیام پاسکال در جاوا


import java.io.*;
class GFG {
first
static void printPascal(int n)
{
for (int line = 0; line < n; line++)
{
for (int i = 0; i <= line; i++)
System.out.print(binomialCoeff
(line, i)+" ");
System.out.println();
}
}
static int binomialCoeff(int n, int k)
{
int res = 1;
if (k > n - k)
k = n - k;
for (int i = 0; i < k; ++i)
{
res *= (n - i);
res /= (i + 1);
}
return res;
}
public static void main(String args[])
{
int n = 7;
printPascal(n);
}
}

محاسبه مثلث خیام پاسکال در ++C


#include
int binomialCoeff(int n, int k);
void printPascal(int n)
{
for (int line = 0; line < n; line++)
{
for (int i = 0; i <= line; i++)
printf("%d ",
binomialCoeff(line, i));
printf("\n");
}
}
int binomialCoeff(int n, int k)
{
int res = 1;
if (k > n - k)
k = n - k;
for (int i = 0; i < k; ++i)
{
res *= (n - i);
res /= (i + 1);
}
return res;
}
int main()
{
int n = 7;
printPascal(n);
return 0;
}

محاسبه مثلث خیام پاسکال در پایتون


:def printPascal(n)
: for line in range(0, n)
for i in range(0, line + 1)
, print(binomialCoeff(line, i)
" ", end = "")
print()
: def binomialCoeff(n, k)
res = 1
: if (k > n - k)
k = n - k
: for i in range(0 , k)
res = res * (n - i)
res = res // (i + 1)
return res
n = 7
printPascal(n)

محاسبه مثلث خیام پاسکال در #C


using System;
class GFG {
static void printPascal(int n)
{
for (int line = 0; line < n; line++)
{
for (int i = 0; i <= line; i++)
res = 1
: if (k > n - k)
k = n - k
: for i in range(0 , k)
res = res * (n - i)
res = res // (i + 1)
return res
n = 7
printPascal(n)

محاسبه مثلث خیام پاسکال در PHP


function binomialCoeff($n, $k)
{
$res = 1;
if ($k > $n - $k)
$k = $n - $k;
for ($i = 0; $i < $k; ++$i)
{
$res *= ($n - $i);
$res /= ($i + 1);
}
return $res;
}
function printPascal($n)
{
for ($line = 0; $line < $n; $line++)
{
for ($i = 0; $i <= $line; $i++)
echo "".binomialCoeff($line, $i)." ";
echo "\n";
}
}
$n=7;
printPascal($n); v ?>

تولید شده توسط تیم خیام پاسکال

Copyright © khayyam-pascal.com 2022